طرق استخدام نظرية فيثاغورس وشرحها من خلال مثلث قائم الزاوية

من الجدير بالذكر أن هذه النظرية فيثاغورس كان قد تم استخدامها في الكثير من السياقات المختلفة، وذلك عندما يتعامل الرياضي مع المثلثات ذات الزاوية القائمة، فتابعوا معنا على موقع مفاهيم للتعرف عن هذا الموضوع أكثر.

للنشر

واتس اب شارك غرد شارك

جدول المحتويات

• نظرية فيثاغورس وشرحها من خلال مثلث قائم الزاوية
• الأمثلة على طريقة استخدام فيثاغورس
• ثلاثيات فيثاغورس
• إثبات نظرية فيثاغورس
• قانون نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس وشرحها من خلال مثلث قائم الزاوية

• من المعروف للجميع أن المثلث القائم الزاوية يتكون من ضلعين، هءان الضلعان يسميان بالضلعين القائمين.
• وهما (متعامدين مع بعضهما)، كما أنه يوجد ضلع ثالث، هذا الضلع أطول منهما ويطلق عليه الوتر.
• يتقابل الضلعين القائمين في زاوية قائمة (أي تقدر ب 90⁰)، وفيها يكون الوتر أيضاً مقابلاً لنفس هذه الزاوية القائمة.
• ويمكن أن تستخدم فيثاغورس لكافة المثلثات ذات الزاوية القائمة، وذلك بهدف إيجاد العلاقة بين كافة أطوال الأضلاع الثلاثة التي توجد في المثلث.

وهي كالاتي:

• a2+b2=c2
• حيث أن a وb هما ما يعبر عن أطوال الضلعين القائمين في المثلث، كما أن c هي تعبر عن طول الوتر.
• بمعنى أن حاصل مجموع الضلعين القائمين يكون مساوي لحاصل طول الوتر الثالث أو ما يعرف بالضلع الثالث.
• وهو ما يعرف بعبارة أخرى أن حاصل طول مربع الوتر يكون مساوي لمجموع مربعي الضلعين الآخرين في المثلث القائم الزاوية.
• ملحوظة هامة: عند استخدام فيثاغورس فمن الضروري تحديد الضلع الذي يمثل الوتر في المثلث كذلك تحديد الضلعين القائمين الآخرين، وذلك حتى لا يتم الخلط بينهم.

الأمثلة على طريقة استخدام فيثاغورس

مثال (1):

• نفترض أنه لدينا مثلث قائم، طول ضلعيه القائمين هما 7 سم، 5 سم، قم بإيجاد طول الضلع الثالث "الوتر"؟

الحل

52+72= x2

25+49=x2

x2=74

x=±√78

x=±8,6.

• وذلك لأن طول المسافة لا يجب أن تكون بالسالب، وبهذا يكون طول الوتر هو 8,6 سم.

مثال (2):

• يوجد لدينا مثلث ذات زوايا قائمة، طول أحد الضلعين القائمين هو 3 سم، كما أن طول الوتر هو 5 سم، نستطيع أن نستخدم هذه المُعطيات ومن خلال تطبيق النظرية يمكننا الحصول على طول الضلع الثاني القائم للمثلث، كما أننا يمكننا أن نعوض تلك القيّم التي حصلنا عليها لنجد طول الضلع المجهول لنا x سم؟

الحل

32+x2=52

9+x2=25

x2=25-9

=16

x=±√16, x=±4

• وذلك لأن طول المسافة لا يجب أن تكون سالبة، فبالتالي سوف يكون طول الضلع القائم الأخير هو 4 سم.

مثال (3):

• كم يكون قطر المربع الذي تكون مساحته 1 سم؟

الحل:

• يقسم القطر المربع إلى مثلثين قائمين الزاوية ومتطابقين.
• إلى جانب أن الطول الخاص بأضلاع المربع يساوي كل جميع أضلاع المثلث القائم الزاوية يساوي 1 سم.
• ونقوم بتعويض تلك القيم الخاصة بـ أطوال الأضلاع داخل المعادلة الآتية للنظرية، فينتج الآتي:
• أ²+ ب²= ج²، (1)²+(1)²= ج².
• وينتج أيضاً ج²= 2.
• وعن طريق أخذ الحذر التربية لكلا الطرفين، يكون الناتج ج=1.414، وبالتالي طول الوتر يكون مساوي لطول قطر المربع =1.414سم.

المثال (4):

• لدينا مثلث جميع أطوال أضلاعه 10 سم، 26 سم، 24 سم، هل هذا المثلث هو ذات زاوية قائمة؟

الحل:

• نقوم هنا بالتعويض عن القيم الخاصة بأطوال المثلث، وذلك بناء على النظرية، وهي كالآتي: أ²+ ب²= ج²، (10)²+(24)²= (26)².
• نقوم بحساب القيمة الخاصة بالطرف الأيمن: 100+ 576= 676.
• نقوم بحساب القيمة الخاصة بالطرف الأيسر: وهو كالاتي: (26)²=676، وعليه 676=676.
• والنتيجة لأن أطراف المعادلة متساويان، فهنا المثلث يكون قائم الزاوية.

ثلاثيات فيثاغورس

• تتضمن تلك النظرية أعداد ثلاثة موجبة وصحيحة هي x, y وz، وذلك لأن: x2+y2=z2
• ويطلق على الأعداد الثلاثة بثلاثية فيثاغورس، حيث أنه هناك عدد لا نهائي من الأعداد الثلاثة لنظرية فيثاغورس.
• وهي على سبيل المثال كالآتي: (1:1:1) و(5:12:3)، وكذلك في المثال الثاني الذي تم ذكره في الأعلى كان لدينا مثال على ثلاثيات فيثاغورس، حيث أن طول أضلاع المثلث كانت 3, 4 و5 سم.

إثبات نظرية فيثاغورس

• يُمكننا إثبات تلك النظرية من خلال عدد لا نهائي من الأدلة والبراهين، كما أن العالم الرياضي الذي يدعى إليشا سكوت لوميس نشر في كتابه (Loomi) كتابه وهو ما يتناول "فرضيّة فيثاغورس"، وكان ذلك في عام 1927م.
• ومن خلال هذا الكتاب قدّم ما يزيد عن 370 برهاناً بشكل مختلف يؤكد النظرية.

وتم تصنيف هذه النظرية في حوالي 4 أقسام أساسية هي كالاتي:

• قسم الجبر وهو الذي يربط بين كافة جوانب المثلث.
• قسم الهندسة.
• قسم المقارنة الحركية أو ما يتم تعريفها أيضا باسم المساحات الديناميكية، وهي التي تربط بين كافة الخصائص المرتبط بالكآبة والقوة.
• قسم المتجهات.

ويُمكن أن نثبت تلك النظرية بشكل هندسي من خلال الآتي:

• نفترض وجود مربع والنقاط د، ه‍، و، ي تقع على الأضلاع الأربعة له.
• وتقسم كافة النقاط على الضلع إلى قسمين، يكون طول أحدهما هو أ ويكون طول القسم الثاني هو ب.
• وبعدها يتم الوصول بين كافة هذه النقاط من خلال خطوط مستقيمة.
• وبهذا يكون الربع الداخلي لطول الضلع هو النقطة ج.
• وهناك 4 مثلثات قائمة داخلية الوتر الخاص بها هو ج.
• كما أن طول الأضلاع الأخرى هما أ،ب.
• وبذلك ينتج طول ضلع المربع الخارجي وهو أ+ب.
• ويمكننا التعبير عن المساحة الخاصة بالمربع الخارجي بالقيمة (أ+ب)²، وتلك القيمة تساوي المساحة الخاصة بـ المثلثات الأربعة الداخلية كالاتي:
• 4×(½× طول القاعدة× الارتفاع)= 4/2×أ×ب=2أب.
• إلى جانب أن مساحة المربع الداخلي هي جـ²، وبناءً علية تكون مساحة المربع الخارجي باستخدام الرموز هي: (أ+ب)²= 2أب+ ج².
• ومن خلال فك التربيع ينتج الآتي: أ²+2أب +ب²= 2أب+ ج².
• ولابد من ترتيب طرفي المعادلة حتى ينتج أ²+ب²= 2أب+ ج²-2أب.
• ومختصر الحدود لينتج أ² + ب² = ج².
• ونتيجة لأن ج هنا هي الوتر، فبالتالي ينتج أن يكون مربع الوتر يساوي الخاص بمربع كلا الضلعين، وهو ما نصت عليه وأكدته تلك النظرية.

قانون نظرية فيثاغورس

• تعد تلك النظرية من أقدم النظريات التي عرفتها الحضارات القديمة، وسميت بهذا الاسم نسبة إلى عالم الرياضيات الشهير والفيلسوف اليونانيّ فيثاغورس، وتعتبر النظريّة أشهر ما قدمه للرياضيات.
• كما أن الفضل يرجع إليه في الكثير من المساهمات الكثيرة في علم الرياضيات، إلى جانب أنه أسس المدرسة الخاصة به الرياضيات، وهي تقع في كورتانا جنوب إيطاليا.
• وهذه النظرية تستخدم في الكثير من المجالات بصورة علمية بحتة، منها البناء.