طرق استخدام التبرير والبرهان في الرياضيات

يعد التبرير والبرهان هم الأسس الرئيسية في الفلسفة والرياضيات، وذلك لأنهما يستخدمان بشكل واسع في توضيح وتثبيت أبرز الأفكار والمفاهيم، فمثلا التبرير يعمل بمثابة عملية تقديم التفسير المعقول والمنطقي لتوضيح وجهة النظر أو القرار، بينما البرهان يعبر عن استخدام أهم الأدلة والمعلومات التي تثبت صحة وصدق موقف المعين، لذا من خلال موقع المفاهيم نتعرف على هاتان الظاهرتان بشكل مبسط وشامل.

للنشر

واتس اب شارك غرد شارك

جدول المحتويات

• البرهان في الرياضيات
• أهمية التبرير والبرهان
• أنواع التبرير والبرهان
• تطبيقات التبرير والبرهان في الرياضيات
• ما البرهان الجبري؟
• مفردات التبرير والبرهان
• مفاهيم ترتبط بـ التبرير والبراهين
• ما هي البديهيات لي في الرياضيات؟

البرهان في الرياضيات

تستحوذ العلوم الرياضية على مكانة خاصة في مجال المعرفة وعالم المعرفة، وتتجلى أهميتها بشكل كبير في تطوير الفهم العميق لأهم الظواهر والعلاقات الرياضية فمثلاً ظاهرتي التبرير والبرهان هما من أركان علم الرياضيات، حيث يمثلان العمود الفقري الذي يدعم المعرفة الرياضية، من حيث أنه:

• يعمل البرهان على تقديم أهم التفسيرات المنطقية للعلاقات والمفاهيم الرياضية.
• يستند البرهان على استخدام أهم الخطوات والأدلة المنطقية التي تثبت صحة النتائج والنظريات.

أهمية التبرير والبرهان

العلوم الرياضية هي واحدة من أهم وأقدم العلوم التي تتميز بالتفصيل والدقة، وتعتمد على أسس التبرير والبرهان في بناء وتطوير القواعد الخاصة بها، فعرفنا أن التبرير يقوم على هيئة تفسير منطقي بإسناده إلى قوانين ومفاهيم الرياضية، أما البرهان يعتمد على استخدام الخطوات والأدلة المنطقية التي تثبت صحة المعادلات والنتائج.

وبالتالي ما هي أهمية التبرير والبرهان:

1. يساهم البرهان في بناء المفاهيم الرياضية وتطويرها بشكل خاص، وذلك يساعدنا على فهم المواضيع الرياضية بشكل عميق وشامل.
2. أيضاً يعمل البرهان على تطوير النظريات الرياضية والمفاهيم الخاصة بها، وذلك من خلال إثبات صحة النظريات واستقراء النتائج التي تتعلق بها.
3. يساعد التبرير ومعه البرهان في الحصول على النتائج الدقيقة والصحيحة والاستنتاجات الرياضية مما يجعلها موثوقة ومقبولة بشكل كبير.

أنواع التبرير والبرهان

• هناك براهين مباشرة تعتمد في أساسها على سلسلة من التطبيقات المنطقية والخطوات الصحيحة التي تثبت نتيجة معينة.
• بينما هناك براهين غير مباشرة تستند إلى استبعاد بعض الحالات التي تساعد على إظهار صحة نتيجة معينة.
• وبراهين بالاستنتاج وهي التي تلك التي تعتمد على استخدام المنطق حتى نصل إلى استنتاج معين يعتمد على المعلومات المعطاة.

تطبيقات التبرير والبرهان في الرياضيات

• في الهندسة نستخدم التبرير والبراهين في إثبات صحة المسائل الهندسية المعقدة، كما في مبرهنة فيثاغورس.
• أما الجبر يستخدم أيضاً تطبيق البراهين في القيام بحل الكثير من المعادلات والتعامل مع العديد من المتغيرات.
• بينما في الاحتمالات أيضاً نستخدم التبرير حتى نقوم بحساب الاحتمالات وتوقع العديد من النتائج في التجارب العشوائية.
• التحليل الرياضي كذلك يحتاج إلى استخدام البراهين لدراسة الدوالي والتقارب والتكامل والتفاضل.

ما البرهان الجبري؟

• البرهان الجبري هو عبارة عن نظام رياضي يتم التعامل معه من خلال الرموز التي تعمل على قياس كميات محدودة وتعرف باسم متغيرات، ويعمل هذا البرهان مع تلك المتغيرات الموجودة ضمن المعادلة الرياضية حتى نصل إلى القيم الخاصة لحل تلك المعادلات.
• وقد جاء استنباط البرهان الجبري من خلال العمليات الجبرية المختلفة التي تشمل، (القسمة والضرب والجمع والطرح)، والتي يعتمد عليها في الوصول إلى حلول للمسائل الرياضية، وتتجلى أهمية هذا البرهان عند استخدامه في الحياة العملية، حيث يعتمد عليه الكثير من التجار لقياس وتوقع حجم المبيعات على سبيل المثال من خلال القيام ببعض الأنشطة الرياضية الخاصة بهم.

مفردات التبرير والبرهان

هناك بعض المفردات والأساليب التي تستخدم لإثبات صحة مفهوم معين أو توضيح خصائص قواعد معينة في الرياضيات، ومنها:

البرهان بالاستنتاج المباشر

• يشمل هذا النوع من التبرير توفير سلسلة من الخطوات المنطقية المتتالية التي تعمل على إثبات مزعوم معين.

برهان بالنقض

• يتضمن نفي مزعوم معين لإثبات أن النتيجة العكسية هي المتبعة بشكل لا مفر منه.
• ويستخدم هذا التبرير في الحالات التي يصعب معها إثبات النتيجة بشكل مباشر.

برهان بالاستقراء

• يستخدم ليتم إثبات معه صحة المعادلة الرياضية من خلال تحليل الحالات الأساسية والاستنتاج على الحالات الباقية.

التحليل بالاستبعاد

• يشمل هذا النوع إثبات صحة معادلة رياضية أو نمط من حلال استبعاد جميع الحالات الممكنة الأخرى، ثم إثبات الحالة المعينة وهي الوحيدة الباقية.

البرهان بالتعريف والخصائص

• يتضمن استخدام تعريف مفهوم رياضي معين وكذلك إثبات أهم الخصائص والنتائج الخاصة به بناءاً على هذا التعريف.

برهان بالتجربة والعمليات الرياضية

• يستخدم بإثبات النتائج من خلال التجارب المتكررة وتحليل البيانات التي تنتج عنها.

التبرير بالتعقيد الزمني

• يستخدم لتحليل تعقيد الخوارزميات والعمليات الرياضية ليتم إثبات فاعليتها وكفاءتها.

مفاهيم ترتبط بـ التبرير والبراهين

• المنطق الرياضي، يشمل القيام بتحليل العلاقات البينية وكذلك الاستنتاجات المنطقية، حيث يعتمد كلا من التعبير والبرهان عبر تطبيق منطق رياضي ليتم معه بناء الحجج والتفسيرات.
• الأدلة والبراهين، حيث يتطلب التبرير والبراهين توفير أدلة قوية وبراهين صحيحة، تعمل على دعم النتائج المستنتجة مما يعزز من صحة العمليات الرياضية وفهم المفاهيم بشكل صحيح.
• الاستدلال، وهو تقديم سلسلة منطقية من الأفكار التي تدعم نتائج معينة ويتضمن استخدام براهين وتفسيرات.
• القوانين والمبادئ الرياضية حيث يساهمان التبرير والبراهين في تفسيرها كما يستخدمان لإثبات صحة قواعد معينة وفهم طريقة تطبيقها.
• التحليل والتفسير حيث يشمل ظاهره التبرير وكذلك البرهان في التحليل العميق للمسائل الرياضية والتفسير الدقيق لنتائجها كما يساهمان في فهم المفاهيم الرياضية بشكل عميق.
• القرارات المنطقية، يستخدمان ظاهرتي التبرير والبراهين في اتخاذ الكثير من القرارات المنطقية التي تستند على أدلة وبراهين، يساهمان في اتخاذ تلك القرارات بشكل أكثر دقة أثناء حل المسائل الرياضية.
• الاستقراء والاستنتاجات، يحتاجان إلى البرهان لاستقراء النماذج التي تساعد على الوصول إلى استنتاجات عامة.
• التفكير النقدي، حيث يشجع البرهان على تطوير مهارات التفكير النقدي وذلك من خلال تقييم الأفكار والأدلة وتحليلها.
• الثقة في النتائج، حيث تستخدم البراهين لبناء ثقة في النتيجة الرياضية وتأكيد دقتها مما يساهم في تعزيز المعرفة والمهارات الرياضية.

ما هي البديهيات لي في الرياضيات؟

البديهيات في الرياضيات هي عبارة عن افتراضات نصل بها إلى البرهان، ويطلق على تلك البديهيات المفترضة بديهيات ZFC اختصاراً لـ Zermelo Fraenkel set theory، وهي نظرية مجموعات زيرميلو، تعتمد تلك النظرية على الحدث الرياضي المتبع وكذلك الأساسيات الخاصة بعلم الجبر والتحليل الرياضي.

• فمثلاً عند القيام بإثبات أمر رياضي نستخدم صياغة البديهيات، وفي الجبر يسمى العنصر الأيمن المقدم ق فرضًا والعنصر الأيسر الطلب.
• وعلى سبيل المثال أيضاً عند كتابة مبرهنة في متوازي أضلاع، بأن كل قطرين يتقاطعان ويتصف كل منهما الآخر، نقول إنه إذا كان الرباعي متوازي أضلاع إذا القطرين لابد أن ينصف كل منهما الآخر.
• فيكون البديهي أو الفرض هنا هو الشكل الرباعي متوازي الأضلاع.
• أما الطلب هو أن ينصف كل من قطري المتوازي القطر الآخر وهذا هو المطلوب إثباته من خلال البرهان والدليل والتبرير.