اكتشف كيفية حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري بسهولة!

في عالم يعج بالأرقام والإحصائيات، يظهر المتوسط الحسابي والانحراف المعياري كمفتاح لفهم التشتت والتباين في البيانات، ويعد المتوسط الحسابي الوجه الأكثر شيوعًا الذي يجمع بين القيم ليعطينا صورة عامة، أما الانحراف المعياري، فيتحدث عن تفاوت البيانات حول المتوسط، كما يكون مؤشرًا لمستوى المخاطرة، فهل تتجرأ مع موقع مفاهيم على استكشاف هذين العنصرين الأساسيين في عالم الأرقام؟ دعونا نتعمق في رحلة إحصائية لفهم أسرارهما وتطبيقاتهما المثيرة.

للنشر

واتس اب شارك غرد شارك

جدول المحتويات

• نبذة عن المتوسط الحسابي والانحراف المعياري
  • 1. تعريف المتوسط الحسابي
  • 2. تعريف الانحراف المعياري
• كيفية حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري؟
  • 1. حساب المتوسط الحسابي
  • 2. حساب الانحراف المعياري
• خصائص الانحراف المعياري
• متى يكون الانحراف المعياري يساوي صفر؟
• عيوب الانحراف المعياري

نبذة عن المتوسط الحسابي والانحراف المعياري

المتوسط الحسابي والانحراف المعياري هما مقاييس إحصائية مهمة تستخدم لتحليل ووصف توزيع البيانات في مجموعة معينة، وإليك نبذة عن المتوسط الحسابي والانحراف المعياري:

1. تعريف المتوسط الحسابي

• المتوسط الحسابي هو قيمة تمثل المعدل العام لمجموعة من الأعداد، ويتم حسابه عن طريق جمع جميع القيم في المجموعة ثم تقسيمها على عددها.
• يعد المتوسط الحسابي طريقة شائعة لتلخيص وتمثيل مجموعة البيانات بقيمة واحدة، ويساعد في فهم متوسط القيمة المتوقعة للبيانات.

2. تعريف الانحراف المعياري

• الانحراف المعياري هو قياس يستخدم لقياس مدى تشتت البيانات حول المتوسط الحسابي، ويتم حسابه عن طريق حساب الفروق بين كل قيمة في المجموعة والمتوسط الحسابي، ثم يتم رفع هذه الفروق إلى القوة الثانية، ثم يتم حساب المتوسط لهذه الفروق المربعة، وأخيراً يتم استخراج الجذر التربيعي لهذا المتوسط.
• يعطي الانحراف المعياري فكرة عن مقدار التباين والتشتت في البيانات، حيث تكون قيمة الانحراف المعياري أكبر كلما زادت قيم التشتت والتباين في البيانات.

كيفية حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري؟

إليك كيفية حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري:

1. حساب المتوسط الحسابي

لحساب المتوسط الحسابي، يجب اتباع الخطوات التالية:

1. قم بعملية جمع كل القيم المعطاة في المجموعة معًا.
2. قسم مجموع القيم الذي ستحصل عليه على عدد القيم في المجموعة.

مثال، لنفترض أن لدينا المجموعة التالية من الأعداد: 4، 7، 9، 11، 13

1. نقوم بجمع الأعداد: 4 + 7 + 9 + 11 + 13 = 44
2. نقسم مجموع الأعداد على عددها: 44 ÷ 5 = 8.8
3. إذًا، المتوسط الحسابي لهذه المجموعة هو 8.8.

2. حساب الانحراف المعياري

لحساب الانحراف المعياري، يجب اتباع الخطوات التالية:

1. احسب المتوسط الحسابي للمجموعة كما تم شرحه سابقًا.
2. احسب الفروق بين كل قيمة في المجموعة والمتوسط الحسابي.
3. قم بتربيع تلك الفروق.
4. جمع جميع القيم المربعة.
5. قسم مجموع القيم المربعة على عدد القيم في المجموعة.
6. احسب الجذر التربيعي للقيمة المستخرجة.

مثال، نستخدم نفس المجموعة من الأعداد السابقة: 4، 7، 9، 11، 13

• نحسب المتوسط الحسابي وهو 8.8 (كما تم حسابه في المثال السابق).
• ثم نحسب الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي:

4 - 8.8 = -4.8

7 - 8.8 = -1.8

9 - 8.8 = 0.2

11 - 8.8 = 2.2

13 - 8.8 = 4.2

• ثم نقوم بتربيع تلك الفروق:

(-4.8)² = 23.04

(-1.8)² = 3.24

(0.2)² = 0.04

(2.2)² = 4.84

(4.2)² = 17.64

• ثم نجمع جميع القيم المربعة:

23.04 + 3.24 + 0.04 + 4.84 + 17.64 = 48.8

• ثم نقسم مجموع القيم المربعة على عدد القيم في المجموعة:

48.8 ÷ 5 = 9.76

• وأخيرًا، نحسب الجذر التربيعي للقيمة المستخرجة:

الجذر التربيعي لـ 9.76 يكون تقريبًا 3.12

خصائص الانحراف المعياري

الانحراف المعياري له عدة خصائص تجعله أداة مفيدة في تحليل البيانات واتخاذ القرارات، إليك بعض الخصائص الرئيسية للانحراف المعياري:

1. يقيس التشتت: يساعد الانحراف المعياري في قياس التشتت أو التباين في مجموعة البيانات، ويعطي فكرة عن مدى انتشار القيم حول المتوسط الحسابي، وتشير قيمة الانحراف المعياري العالية إلى تشتت كبير في البيانات، بينما القيمة المنخفضة تشير إلى تشتت أقل.
2. يقدم مقارنات: يمكن استخدام الانحراف المعياري لمقارنة التشتت بين مجموعات مختلفة من البيانات، عند مقارنة اثنين من المجموعات، إذا كان لديهما نفس المتوسط الحسابي ولكن قيمة الانحراف المعياري لأحدهما أعلى، فإن ذلك يشير إلى تشتت أكبر لهذه المجموعة مقارنة بالأخرى.
3. يقدم معلومات عن التوزيع: يعطي الانحراف المعياري فكرة عن توزيع البيانات، فإذا كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة، فإن البيانات عادة تكون مجتمعة حول المتوسط الحسابي بشكل مركزي، والعكس، إذا كانت قيمة الانحراف المعياري كبيرة، فإن البيانات تكون متشتتة بشكل أكبر وتوزيعها يكون غير متجانس.
4. يعكس مستوى المخاطرة: يمكن استخدام الانحراف المعياري كمؤشر لمستوى المخاطرة في الاستثمار، وعادةً ما تكون القيم العالية للانحراف المعياري مرتبطة بمستويات أعلى من المخاطرة، حيث يشير إلى احتمالية تقلبات كبيرة في الأداء أو العائد على الاستثمار.
5. يمكن استخدامه في توقعات الأداء: يستخدم الانحراف المعياري في تحليل الأداء المالي والاستثماري، فعلى سبيل المثال، يمكن استخدام الانحراف المعياري للتنبؤ بتقلبات سعر الأسهم أو العملات أو السلع، ويساعد المستثمرون والتجار في تحديد مدى التقلبات المتوقعة واتخاذ القرارات المناسبة.

متى يكون الانحراف المعياري يساوي صفر؟

• يكون الانحراف المعياري يساوي صفرًا عندما تكون جميع القيم في مجموعة البيانات متساوية ولا يوجد تباين فيها. عندما تكون جميع القيم متماثلة ولا تختلف عن بعضها البعض، فإن التشتت يكون صفرًا، وبالتالي الانحراف المعياري يكون أيضًا صفرًا.
• على سبيل المثال، إذا كانت لدينا مجموعة بيانات مكونة من الأعداد التالية: 5، 5، 5، 5، 5، فإنه لا يوجد تباين في القيم ولا يوجد فرق بينها. بالتالي، التشتت يكون صفرًا والانحراف المعياري يكون أيضًا صفرًا.
• يمكن تفسير ذلك بأن جميع القيم في المجموعة تقع على نقطة واحدة ولا تنحرف عنها، مما يعني عدم وجود تباين أو انحراف في البيانات.

عيوب الانحراف المعياري

عند استخدام الانحراف المعياري كمقياس للتشتت في مجموعة البيانات، تظهر بعض العيوب التي يجب مراعاتها، وإليك بعض العيوب الشائعة للانحراف المعياري:

1. التأثر بالقيم الشاذة: يعتمد الانحراف المعياري على حساب الفروق بين كل قيمة والمتوسط الحسابي، وإذا كانت هناك قيم شاذة أو متطرفة في المجموعة، فإنها قد تؤثر بشكل كبير على قيمة الانحراف المعياري، ويعني ذلك أن الانحراف المعياري قد يكون مضللاً في حالة وجود قيم شاذة في البيانات.
2. عدم الحساسية للتوزيع الذاتي للبيانات: لا يأخد الانحراف المعياري في الاعتبار توزيع البيانات الذاتي، ببساطة إنه يقيس فقط مدى انتشار القيم حول المتوسط الحسابي، بغض النظر عن التوزيع الفعلي للبيانات، فقد يكون هناك حالات تكون البيانات غير منتظمة أو تتبع توزيعًا غير عادي، وفي هذه الحالات قد يكون الانحراف المعياري غير كافٍ لتمثيل التشتت الفعلي للبيانات.
3. عدم القدرة على وصف الشكل الكامل للتوزيع: لا يوفر الانحراف المعياري معلومات عن الشكل الكامل لتوزيع البيانات، فقد يكون لديك مجموعتين مختلفتين من البيانات مع نفس الانحراف المعياري، ولكن يكون لديهما توزيعات مختلفة تمامًا، لذلك يجب أخذ الانحراف المعياري في الاعتبار بجانب معلومات أخرى، مثل القيم الشاذة والتوزيع الفعلي؛ لفهم البيانات بشكل أفضل.
4. قد يكون غير مناسب للبيانات الوصفية: يعمل الانحراف المعياري بشكل أفضل مع البيانات الكمية والمترابطة؛ ومع ذلك، قد يكون غير مناسبًا للبيانات الوصفية أو المجموعات غير المترابطة، في مثل هذه الحالات، يكون من الأفضل استخدام مقاييس أخرى مثل الانحراف المطلق.